Mit Hilfe von Interpolationspolynomen und deren Lagrange-Darstellung kann man die folgende allgemeine Quadraturformel und das zugehörige Restglied herleiten.

Allgemeine Quadraturformel für eine Teilfläche

mit den Koeffizienten

:Restglied

Ist die Funktion f(x) in dem Intervall [a,b] (m+1)-mal stetig differenzierbar ("reellwertig" wird nicht gefordert), dann läßt sich das Restglied nach oben abschätzen durch

Wenn noch zusätzlich für alle Stützstellen in dem Intervall [a,b] gilt (x - x^j) >=0 oder alternativ (x - x^j) <=0, dann hat der Integrand keinen Vorzeichenwechsel in [a,b] und man kann zeigen:

Daraus folgt dann die Restgliedabschätzung

Ist die Funktion f(x) zusätzlich noch reellwertig in [a,b], dann kann man mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Integralrechnung folgende Darstellung für das Restglied herleiten:

mit einer Zwischenstelle ζ in dem Intervall [a,b].== Summierte Quadraturformeln ==

Um das Integral noch besser annähern zu können unterteilt man das Intervall [a,b] in nebeneinanderliegende kleinere Teilintervalle. In jedem Teilintervall wendet man die gleiche Näherung für die einzelnen Flächen an und addiert danach die entstandenen Näherungen.

Unterteilen wir also das Intervall [a,b] in N nebeneinanderliegende Teilntervalle

[a₁,b₁],[a₂,b₂], ... [a_N,b_N]     mit a₁=a;    a_k+1=b_k  k=1,...,N-1;   b_N = b

Die Teilintervalle müssen zunächst nicht die gleiche Länge haben.

Dann gilt für jede Teilfläche

Daraus folgt fĂĽr das gesamte Integral

mit

Sei f(x) nun (m+1) mal stetig differenzierbar in dem Gesamtintervall [a,b]. Ferner sollen ab jetzt alle Teilintervalle die gleiche Länge h haben, also

Dann gilt fĂĽr die einzelnen Restglieder (s.oben)

Summierung über die einzelnen Restglieder ergibt die Abschätzung für das gesamte Restglied

mit Nh = b - a.

Ist die Funktion f(x) zudem auf [a,b] reellwertig, dann kann man fĂĽr das Restglied analog herleiten:

== Spezielle Quadraturformeln == Man hat nun verschiedene Möglichkeiten, die einzelnen Teilfächen durch spezielle einfachere Flächen anzunähern. Die Anwendung der obigen allgemeinen Quadraturformel auf diese speziellen Flächen liefert einige bekannte und wichtige spezielle Quadraturformeln.

Man ersetzt die Kurve f(x) durch die Verbindungsgerade zwischen den Punkten (a,f(a)) und (b,f(b)) - also durch die Sehne - und erhält somit ein Trapez.

Mit

      m = 1
      x0 = a
      x1 = b

erhält man die Koeffizienten β_j

      z0 = 0
      z1 = 1
      β0 = 1
      β1 = 0,5
      β2 = -(1/6)
      

und daraus schlieĂźlich die Sehnentrapezformel

==== Tangententrapezformel ====

Man legt an die Kurve f(x) in dem Punkt c in der Mitte des Intervalls [a,b] die Tangente und erhält so wieder ein Trapez.

Mit

      m = 1
      x0 = c
      x1 = c

erhält man die Koeffizienten β_j

      z0 = 0,5
      z1 = 0,5
      β0 = 1
      β1 = 0
      β2 = 1/12
      

und daraus schlieĂźlich die Tangententrapezformel

Interpoliert man die Funktion f(x) mittels eines quadratischen Polynoms in den Punten a,b,c (c liegt in der Mitte von [a,b]), dann erhält man die Simpsonsche Formel.

Mit

      m = 3
      x0 = a
      x1 = b
      x2 = c
      x3 = c

erhält man die Koeffizienten β_j

      z0 = 0
      z1 = 1
      z2 = 0,5
      z3 = 0,5
      β0 = 1
      β1 = 1/2
      β2 = -(1/6)
      β3 = 0
      β4 = -(1/120)

und damit die Simpsonsche Formel

==== Hermitsche Formel ====

Diese ergeben sich mit

      m = 3
      x0 = a
      x1 = b
      x2 = a
      x3 = b

      z0 = 0
      z1 = 1
      z2 = 0
      z3 = 1
      β0 = 1
      β1 = 1/2
      β2 = -(1/6)
      β3 = -(1/12)
      β4 = -(1/30)

== GauĂźsche Quadraturformeln ==